二阶系统欠阻尼响应过程分析

主要是求四个参数

上升时间$t_r = \frac{\pi - \theta}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}}$
峰值时间$t_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$
超调量$\sigma_p=e^{-\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\pi} * 100\%$
调节时间$t_s \ge \frac{1}{\zeta\omega_n}\ln\frac{1}{\Delta\sqrt{1-\zeta^2}}$
其中 $\Delta = 0.05 或 0.02$

所以要获取三个参数

阻尼角$\theta$
无阻尼自振角频率$\omega_n$
相对阻尼系数（阻尼比）$\zeta$

其中

$\theta = \arctan\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}$
如果题目给了闭环传递函数
那么化简为$\phi(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$

劳斯稳定判据

看书P78

根轨迹

开环传递函数具有以下形式

$$G(s)H(s) = K^*\frac{(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)},n\ge m$$
式中，$z_i(i=1,2,...,m),p_j(j=1,2,...,n)$分别为开环零点与开环极点

绘制180°根轨迹的基本规则

对于题给信息，如一个开环传递函数$G(s)H(s)=\frac{K^*}{s(s+1)(s+2)}$
题目一般要求求解

系统根轨迹的起点、终点和分支情况
根轨迹的渐近线
根轨迹与实轴的交点
根轨迹与虚轴的焦点
参变量的临界值

解题步骤

求出
- 开环极点
- 开环零点
- 无限开环零点

对于例题，不难看出，有$p_1=0,p_2=-1,p_3=-2$，三个开环极点
没有开环零点
无限开环零点就是$n-m=3-0=3$个
所以，有三个起点，分别位于$(0,j0),(-1,j0),(-2,j0)$
渐近线的数量为$n-m$，就是三个

求解渐近线与实轴的交点以及夹角情况
- 坐标为：
$$(\frac{\sum\limits_{j=1}^np_j-\sum\limits_{i=1}^mz_i}{n-m},j0)$$
- 夹角为：
$$\frac{(2l+1)\pi}{n-m},l=0,1,...,n-m-1$$

对例题求解，可以看出，坐标为$(\frac{0-1-2}{3},j0) = (-1,j0)$
渐近线有三个方向，为$\frac{\pi}{3},\frac{3\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

求解根轨迹与实轴的交点
- 交点通过方程确定：
$$\frac{d}{ds}[\frac{K^\ast}{G(s)H(s)}]\vert_{s=\alpha} = 0$$
- 取其右侧开环极点与开环零点数量和为奇数的值

对例题求解，得出$\frac{K^\ast}{G(s)H(s)}=s(s+1)(s+2)$
替换符号并求导得$3\alpha^2+6\alpha+2=0$
求解得$\alpha_1=-0.423,\alpha_2=-1.577$
已知三个坐标分别为$(0,j0),(-1,j0),(-2,j0)$
那么对于结果$-0.423$，其右方存在一个极点，所以留下
对于结果$-1.577$，右方存在两个极点，舍去
因此最终结果为$(-0.423,j0)$

求解根轨迹与虚轴交点
- 令$s=j\omega$，代入方程并求解

$$
\begin{cases}
Re[1+G(j\omega)H(j\omega)]=0\\
Im[1+G(j\omega)H(j\omega)]=0
\end{cases}
$$

代入例题，得

$$
\begin{cases}
-3\omega^2+K^\ast=0\\
-\omega^3+2\omega=0
\end{cases}
$$

求解

$^\varepsilon\omega^\varepsilon$

绘制0°根轨迹的基本规则

步骤基本与上述相同，但是有部分公式变动

渐近线夹角

$$\frac{2l\pi}{n-m},l=0,1,...,n-m-1$$

求解根轨迹与实轴的交点
- 取其右侧开环极点与开环零点数量和为偶数的值
求解根轨迹与虚轴交点

$$
\begin{cases}
Re[1-G(j\omega)H(j\omega)]=0\\
Im[1-G(j\omega)H(j\omega)]=0
\end{cases}
$$

线性系统的频域分析

Bode图

环节	频率特性	转折频率/相频特性	斜率
放大环节	$G(j\omega)=K$	$L(\omega)=20\lg K$	$0$
积分环节	$G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}$	$0$	$-20dB$
微分环节	$G(j\omega)=j\omega$	$0$	$20dB$
惯性环节	$G(j\omega)=\frac{1}{1+jT\omega}$	$\frac{1}{T}$	$-20dB$
一阶微分环节	$G(j\omega)=1+j\tau\omega$	$\frac{1}{\tau}$	$20dB$
振荡环节	$G(j\omega)=\frac{1}{1-T^2\omega^2+j2T\zeta\omega}$	$\frac{1}{T}$	$-40dB$
二阶微分环节	$G(j\omega)=1-\tau^2\omega^2+j2\tau\zeta\omega$	$\frac{1}{\tau}$	$40dB$
不稳定惯性环节	$G(j\omega)=\frac{-1}{-1+jT\omega}$	$\frac{1}{T}$	$-20dB$

已知开环传递函数求解Bode图

例如

$G(s)=\frac{64(s+2)}{s(s+0.5)(s^2+3.2s+64)}$

化简

$G(s)=\frac{4(\frac{s}{2}+1)}{s(2s+1)(\frac{s^2}{64}+\frac{s}{20}+1)}$

辨识出典型环节

对于例题，可以拆分成
$4$，放大环节为4
$\frac{s}{2}+1$，一阶微分环节，$\omega=2rad/s$后$+20dB$
$\frac{1}{s}$，积分环节，过点$(1,20\lg K)$作斜率$-20dB$线
$\frac{1}{2s+1}$，一阶积分环节，$\omega=0.5rad/s$后$-20dB$
$\frac{1}{\frac{s^2}{64}+\frac{s}{20}+1}$振荡环节，$\omega=8rad/s$后$-40dB$